TRANSFORMASI LAPLACE 1

     Solusi dari persamaan diferensial linear, berkoefisien konstan, seperti persamaan diferensial orde-dua  

 dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu memperoleh bentuk umum untuk pernyataan f(t). Bentuk umum ini akan berisi sejumlah konstanta integrasi yang nilainya dapat ditemukan dengan menerapkan syarat batas yang sesuai. Cara yang lebih sistematis memecahkan persamaan tersebut adalah dengan menggunakan Transformasi Laplace yang mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar yang memiliki keuntungan tambahan dengan memasukkan syarat batas awal. Selanjutnya, dalam kondisi f(t) merupakan fungsi diskontinyu, metode Transformasi Laplace dapat berhasil menyelesaikannya dimana metode lain telah gagal alias tidak dapat menyelesaikannya.
            Teknis Transformasi Laplace juga menyediakan alat yang kuat dalam berbagai bidang teknologi seperti Teori Kontrol, dimana pengetahuan tentang sistem fungsi transfer adalah penting dan Transformasi Laplace masuk sendiri ke dalamnya. Mari kita lihat semuanya.

Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari pernyataan f(t) dinotasikan dengan L{f(t)} dan didefinisikan sebagai integral semi-infinit 
 
Parameter s diasumsikan sebagai bilangan positif yang cukup besar untuk memastikan bahwa integralnya adalah konvergen. Dalam penerapan yang lebih lanjut, bisa jadi s merupakan bilangan kompleks dengan bagian real dari s harus berupa bilangan positif yang cukup besar untuk memastikan bahwa integralnya adalah konvergen.
          Dalam menentukan transformasi dari sebuah pernyataan, Anda akan mengeahui bahwa batas integral harus disubstitusikan ke t, sehingga hasilnya akan menjadi pernyataan dalam s. Oleh karena itu 


Contoh 1
Transformasi Laplace dari f(t) = a, dengan a adalah sebuah konstanta, adalah: 


Contoh 2

Untuk memperoleh Transformasi Laplace dari f(t) =  e^at (a adalah konstanta), kita kalikan f(t) dengan e^-st dan mengintegralkannya antara t = 0 dan t = ∞.  

 

  

Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada contoh 1 dan contoh 2 di atas, kita peroleh hasil sebagai berikut:

Perhatikan bahwa, seperti yang telah kami katakan sebelumnya, Transformasi Laplace selalu berupa sebuah pernyataan dalam s. Selanjutnya, mari kita ikuti beberapa contoh lagi.

Contoh 3
Untuk menemukan transformasi Laplace dari f(t) = Sin at, tentu saja kita bisa menerapkan definisi Transformasi Laplace dan mengevaluasi persamaan
  
dengan menggunakan integrasi per bagian. Namun, hal ini akan lebih singkat bila kita menggunakan fakta bahwa:

Sehingga adalah bagian imajiner dari  , ditulis . Oleh karena itu, fungsi Sin at dapat dituliskan sebagai










Kita bisa merasionalkan penyebutnya dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan
Sehingga


Dengan meninjau kembali Contoh 3 di atas, kita dapat menentukan Transformasi Laplace dari Cos at, ditulis , karena Cos at adalah bagian real dari , ditulis . Maka akan kita peroleh:

Sebab


Dari beberapa contoh di atas, akan dapat kita peroleh beberapa hasil sebagai berikut: 

Contoh 4
Transformasi Laplace dari , dimana n adalah bilangan bulat positif, dapat kita tentukan dengan definisi
  
dan integrasi per bagian


Sebelumnya kita anggap bahwa s merupakan nilai numerik yang cukup besar sehingga hasilkali dari akan konvergen ke nol ketika .
------------------------------------ (6)
Perhatikan bahwa adalah identik dengan hanya saja n dituliskan sebagai (n -  1)
Jika maka . 
Dan hasil (6) menjadi  
Ini adalah rumus reduksi, dan jika sekarang kita gantikan n dengan (n - 1), kita peroleh: 

Jika kita gantikan (n - 1) dengan (n - 2), maka kita peroleh:

Sehingga

Jadi 

Jadi akhirnya kita memiliki 

Mengingat
  
diperoleh:

dan untuk n = 0 dan karena 0! = 1, maka akan kita peroleh  yang mana persamaan ini merupakan persamaan yang telah kita tetapkan sebelumnya.

Contoh 5
Transformasi Laplace dari dan
Definisi eksponensial dari Sinh at dan Cosh at adalah:
dan
Selanjutnya kita proses sebagai berikut:

             Selanjutnya
           
             Jadi                
                                                    

     

           Jadi

Dengan demikian, kita dapat mengumpulkan beberapa hasil standar sebagai berikut:

Catatlah daftar hasil standar di atas jika Anda belum pernah mengerjakannya. Karena hasil standar ini akan sangat berguna untuk pembahasan kita selanjutnya.

Sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah transformasi linear, yang berarti bahwa: 

(1) Transformasi dari suatu jumlah (atau selisih) dari pernyataan adalah jumlah (atau selisih) dari masing-masing transformasi itu sendiri. Dengan kata lain:

       L{f(x) ± g(x)} = L{f(x)} ± L{g(x)}

(2) Transformasi dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi dari pernyataan tersebut. Artinya        L{kf(x)} = kL{f(x)}

Catatan: Dua transformasi tidak harus dikalikan secara bersama untuk membentuk Transformasi dari hasilkali pernyataan- kita akan lihat nanti bahwa hasilkali dari dua transformasi merupakan transformasi konvolusi (lilitan) dari dua pernyataan.

 Contoh 6
 
Kerjakanlah soal berikut:

Jika udah selesai, ceklah hasil yang Anda peroleh dengan jawaban berikut:

Mudah kan brow....?!!

Selanjutnya, mari kita lihat beberapa proses berikut:
 
 

Kita telah membangun daftar transformasi standar dari pernyataan sederhana. Sebelum kita meninggalkan bagian dari pekerjaan ini, ada tiga teorema penting yang berguna bagi kita untuk menangani pernyataan yang lebih rumit.

NEXT