TRANSFORMASI LAPLACE

PENDAHULUAN

 

Semua persamaan diferensial yang telah Anda pelajari selama ini mempunyai penyelesaian yang mengandung beberapa konstanta integrasi anu (unknown -tidak diketahui) seperti A, B, C, dan seterusnya. Nilai dari konstanta-konstanta ini selama ini diperoleh dengan menerapkan syarat-syarat batas pada penyelesaiannya, suatu prosedur yang seringkali sangat membosankan. Untungnya, untuk satu tipe persamaan diferensial tertentu ada sebuah metode pencarian pemecahan dimana konstanta-konstanta integrasi yang tidak diketahui ini dihitung selama proses penyelesaian. Selain itu, daripada menggunakan integrasi sebagai cara menyelesaikan persamaan diferensial, Anda bisa menggunakan perhitungan aljabar yang lebih sedrhana.

     Metodenya bergantung dari apa yang kita sebut sebagai transformasi Laplace (Laplace transform). Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai:

dimana s adalah suatu variabel yang nilai-nilainya dipilih sedemikian rupa agar integral semi-infinitnya selalu konvergen. Variabel s akan dijelaskan lebih lanjut di Frame 3. Untuk sekarang, apa yang akan Anda katakan tentang transformasi Laplace dari f(x) = 2 untuk x ≥ 0.

Substitusilah f(x) dalam integral di atas dan kemudian carilah integralnya. 
Jawabannya ada di frame berikutnya

 
Provided = asalkan.
Karena:

Maka

Perhatikan bahwa s > 0 disyaratkan karena jika s < 0 maka   ketika x → ∞ dan jika s = 0 maka L{2} tidak terdefinisi (pada kedua kasus ini integralnya divergen), sehingga
 

Provided = asalkan. 
Dan dengan alasan yang sama, jika k adalah sebarang konstanta maka,
Provided = asalkan.

Sekarang bagaimana dengan transformasi Laplace dari dimana k adalah konstanta?

Lihatlah kembali definisi integral dan kerjakan soal tersebut sekali lagi. Jawabannya ada di frame berikutnya.

Provided = asalkan.
Karena

s + k > 0 harus dipenuhi untuk menjamin integralnya konvergen di kedua limit

asalkan s + k > 0, yaitu asalkan s > -k.

Kedua contoh di atas menunjukkan bahwa Anda harus berhati-hati dengan keberadaan pasti dari transformasi Laplace dan tidak mengambil definisi integralnya begitu saja tanpa berpikir dahulu. Agar transformasi Laplace bisa ada maka integran:

harus konvergen ke nol ketika x → ∞ dan ini berarti bahwa nilai-nilai s yang memenuhi syarat adalah nilai-nilai dimana integral untuk nilai-nilai tersebut konvergen, sehingga transformasi Laplace-nya ada. Dalam program ini Anda tidak perlu mengkhawatirkan keberadaan dari transformasi-transformasi Laplace yang akan Anda temui.

Lanjutkan ke frame berikutnya.