BILANGAN KOMPLEKS 1

Gagasan dan Simbol

Para insinyur dan saintis menggunakan gagasan tentang dunia fisis untuk menerangkan kejadian yang diamati.

Gaya diamati sedang dikerahkan pada suatu massa dan massa tersebut diamati mengalami percepatan.

Issac Newton mengatakan bahwa:

Gaya yang dikerahkan = massa × percepatan yang dihasilkan

Mengaitkan gaya yang dikerahkan dengan percepatan yang dihasilkan dengan cara ini melibatkan gagasan tentang ruang, waktu, massa, gaya, laju perubahan - gagasan yang banyak. Dalam matematika, simbol digunakan untuk menyatakan gagasan ini. Jika simbol F menggambarkan gaya, m massa, dan a percepatan maka ditulis:

F = m × a

Jadi ketika Anda memanipulasi simbol-simbol, Anda seringkali sedang memanipulasi gagasan-gagasan. Sebagai contoh, ambillah bilangan sehari-hari yang digunakan untuk menghitung dan mengukur. Angka-angka ini semula dimaksudkan untuk mencatat gagasan kuantitas, jadi ketika simbol seperti  muncul dan ternyata tidak ada kuantitas yang bersesuaian dengan simbol ini, kita harus bertanya kepada diri kita sendiri, mengapa? Mengapa simbol ini muncul jika tidak ada kuantitas yang diasosiasikan padanya? Seringkali satu-satunya cara untuk menjawab pertanyaan ini ialah menerima simbol itu dan terus melakukan manipulasi terhadap simbol ini untuk melihat gagasan baru yang akan muncul.

Pada program sebelum ini kita telah mengetahui bahwa terdapat beberapa persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorsasi menjadi dua faktor linear. Sebenarnya, semua persamaan kuadarat dapat difaktorisasi menjadi dua faktor linear. Tetapi dengan pengetahuan yang Anda miliki sekarang, Anda tidak selalu dapat mencarinya. Hal ini akan segera kita atasi.
Simbol j
Persamaan Kuadrat
Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c =  0 tentu saja dapat diperoleh dengan menggunakan rumus, 
Sebagai  contoh, jika 2x² + 9x + 7 = 0, maka kita memperoleh


  atau 
 x = -1 atau -3,5
Penyelesaiannya cukup mudah, tetapi jika kita menyelesaikan persamaan 5x² - 6x +5 = 0 dengan cara yang sama, kita akan memperoleh

dan tahap berikutnya ialah menentukan akar kuadrat dari -64. Apakah akarnya (a) 8, (b) -8, (c) tidak satupun yag benar? 

tidak satupun yang benar

Tentu saja tidak satupun yang benar, karena +8 dan -8 adalah akar kuadrat dari 64 dan bukan -64. Sebenarnya  tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya merupakan kuantitas negatif. Akan tetapi, -64 = -1 × 64 dan oleh sebab itu kita dapat menulis


Artinya, 
Tentu saja kita masih dihadapkan dengan , yang tidak dapat dihitung seperti bilangan real, karena alasan yang sama seperti di atas, tetapi, jika kita menulis huruf j sebagai pegganti , maka  = .8 = j.8 =  j8.

Jadi walaupun kita tidak dapat menghitung , kita dapat menggantinya dengan  j dan ini membuat pekerjaan kita lebih rapi.

sama halnya dengan


Jadi  dapat ditulis sebagai j5.

Kita sekarang memiliki cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat berikut:
5x² - 6x + 5 = 0 



Jadi x = 0,6 +j 0,8 atau x = 0,6 - j0,8.
Kita akan membicarakan hasil-hasil seperti ini nanti.
Pangkat dari j
Karena i menyatakan , marilah kita perhatikan pangkat-pangkat dari i berikut ini.
j = 
j² = -1
j³ = (j²)j = -1.j = -j jadi j³ = -1

= (j²)² = (-1)² = 1 jadi  = 1 Perhatikan dengan seksama hasil yang terakhir:  =1. Setiap kali faktor  muncul, faktor tersebut dapat diganti dengan faktor 1, sehingga pangkat i berubah menjadi salah satu dari keempat hasil di atas: Sebagai contoh,   dan Jadi, dengan cara yang sama, . Karena Masing-masing dilakukan dengan cara yang sama: Jadi Jika x² - 6x + 34 = 0, maka  Artinya x = 3 + j5 atau x = 3 - j5. Jadi ingatlah, untuk menyederhanakan pangkat dari j, kita keluarkan pangkat dari  yang paling besar, dan hasilnya kemudian harus disederhanakan menjadi salah satu dari keempat hasil berikut: j, -1, -j, 1. Hasil x = 3 + j5 yang kita peroleh terdiri atas dua suku yang terpisah, 3 dan j5,. Suku-suku ini tidak dapat digabungkan lagi, karena suku yang kedua bukanlah suatu bilangan real (karena memiliki faktor j). Dalam pernyataan seperti x = 3 + j5: 3 disebut bagian real dari x 5 disebut bagian imajiner dari x dan keduanya membentuk apa yang disebut bilangan kompleks. Jadi, suatu bilangan kompleks = (bagian real) + j(bagian imajiner). Pada bilangan kompleks 2 + j7, bagian realnya = .......... dan bagian imajinernya = ........ bagian real = 2; bagian imajiner = 7 (bukan j7)!