BILANGAN KOMPLEKS 2

Bilangan kompleks memiliki banyak penerapan dalam bidang teknik. Untuk menggunakan bilangan kompleks ini, kita harus mengetahui bagaimana melakukan operasi-operasi aritmetik yang biasa.

1. Penambahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Ini mudah, seperti yang akan ditunjukkan oleh beberapa contoh berikut:

(4 + j5) +  (3 - j2)

Walaupun bagian real dan bagian imajiner tidak dapat digabungkan, kita dapat menghilangkan tanda kurung dan menjumlahkan suku-suku yang jenisnya sama:

(4 + j5) +  (3 - j2) = 4 + j5 +  3 - j2 = (4 + 3) +  j(5 - 2) = 7 + j3

Contoh lain:

(4 + j7) -  (2 - j5) = 4 + j7 -  2 + j5 = (4 - 2) -  j(7 + 5) = 2 + j12

Jadi secara umum, 

Ini sangat mudah, selama Anda ingat bahwa bagian real dan bagian imajiner harus dioperasikan secara terpisah - persis seperti suku-suku x dan y pada pernyataan aljabar.

2. Perkalian Bilangan Kompleks

Ambillah sebagai contoh: (3 + j4)(2 + j5)

Bilangan kompleks ini dikalikan dengan cara yang sama seperti Anda menetukan hasil kali (3x + 4y)(2x + 5y).

Dari suku-suku hasil kali

(a) kedua suku sisi kiri

(b) kedua suku di bagian dalam

(c) kedua suku di bagian luar

(d) kedua suku sisi kanan

diperoleh:

(3 + j4)(2 + j5) = 6 + j8 + j15 + j²20

                             = 6 + j23 - 20 (karena j² = -1)

                             = -14 + j23

Contoh lain:

(4 - j5)(3 + j2) = 12 - j15 + j8 - j²10

                             = 12 - j7 + 10 (karena j² = -1)

                             = 22 - j7

Jika suatu pernyataan mempunyai lebih dari dua faktor, kita kalikan faktor-faktor tersebut secara bertahap, misalkan:

(3 + j4)(2 - j5)(1 - j2) = (6 + j8 - j15 - j²20)(1 - j2)

                                          = (6 - j7 + 20)(1 - j2)

                                          = (26 - j7)(1 - j2)

                                          = 26 - j7 - j52 + j²14

                                  = 26 - j59 - 14 

                                  = 12 - j59

Jika Perhatikan bahwa ketika kita berurusan dengan bilangan kompleks, hasil perhitungan kita umumnya juga merupakan bilangan kompleks.

Sekarang Anda kerjakan sendiri soal berikut ini:

(5 + j8)(5 - j8) = .......?

Beginilah caranya:

(5 + j8)(5 - j8) = 25 + j40 - j40 - j²64

                             = 25 + 64

                             = 89

Terlepas dari apa yang telah kita lihat di atas, di sini kita memiliki hasil yang tidak mengandung suku j. Sehingga hasilnya merupakan bilangan real. Ini merupakan kasus yang sangat khusus. Lihatlah pada kedua bilangan kompleks yang baru saja kita kalikan. Dapatkah Anda menemukan sesuatu yang istimewa pada kedua bilangan kompleks ini? Jika ada, apakah itu?

Kedua bilangan kompleks ini identik kecuali pada tanda di tengah tanda kurungnya, yakni, (5 + j8) dan (5 - j8)

Sepasang bilangan kompleks seperti ini disebut bilangan kompleks konjugat dan hasil kali dua bilangan kompleks konjugat selalu bilangan real.

Lihatlah dengan cara seperti ini:

 (Selisih dua kuadrat)

Serupa halnya,

(5 + j8)(5 - j8) = 5² - (j8)²

                             = 5² + 8² (sebab j² = -1)

                             = 25 + 64 = 89

Ingat: Bilangan kompleks konjugat adalah identik kecuali pada tanda di tengah tanda kurungnya.

                     (4 + j5) dan (4 - j5)         adalah          bilangan kompleks konjugat

                     (a + jb) dan (a - jb)          adalah          bilangan kompleks konjugat

tetapi         (6 + j2) dan (2 + j6)        bukanlah     bilangan kompleks konjugat

                    (5 - j3) dan (-5 + j3)       bukanlah      bilangan kompleks konjugat 

Contoh:

1. (4 + j3)(4 - j3) = 4² - j²3² = 16 + 9 = 25
2. (4 - j7)(4 + j7) = 4² - j²7² = 16 + 49 = 65
3. (a - jb)(a + jb) = a² - j²b² = a² + b²
4. (x - jy)(x + jy)) = x² - j²y² = x² + y²

3. Pembagian Bilangan Kompleks

Pembagian suatu bilangan kompleks dengan bilangan real cukup mudah:

Tetapi apa yang harus kita lakukan dengan pembagian ?

Jika kita dapat mengkonversi penyebutnya menjadi bilangan real, kita dapat membaginya seperti contoh di atas. Jadi msalah kita sebenarnya ialah, bagaimana kita dapat mengkonversi (4 + j3) menjadi penyebut yang real sama sekali - dan termasuk ke sinilah soal kita yang terakhir ini.

Kita ketahui bahwa kita dapat mengkonversi (4 + j3) menjadi bilangan real dengan mengalikan bilangan ini dengan konjugatnya, yakni bilangan kompleks yang sama tetapi dengan tanda yang berlawanan di tengah tanda kurungnya, dalam hal ini (4 - j3).

Tetapi jika kita mengalikan penyebutnya dengan (4 - j3), kita juga harus mengalikan pembilangnya dengan faktor yang sama:

              

dan pekerjaan kita selesai. Oleh sebab itu, untuk membagi suatu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya, kita harus mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat penyebut bilangan kompleks yang bersangkutan. Proses ini akan mengkonversi penyebut menjadi bilangan real dan langkah akhir kemudian akan dapat diselesaikan.

Dengan demikian untuk menyederhanakan , kita harus mengalikan bagian atas dan bawahnya dengan konjugat penyebutnya, yakni (1 - j2), sehingga kita peroleh:

         

Mudah bukan?! Dan sekarang Anda telah mengetahui bagaimana menggunakan keempat aturan itu untuk bilangan kompleks.