BILANGAN KOMPLEKS 4

Representasi Grafis Suatu Bilangan Kompleks

Walaupun kita tidak dapat menentukan nilai suatu bilangan kompleks seperti bilangan real, kita dapat mempresentasikannya secara grafis, sebagaimana yang akan kita lihat sekarang.

Dalam sistem penggambaran bilangan yang biasa, angka 3 dapat disajikan oleh sebuah garis dari titik-asal ke titk 3 pada skalanya. Sama halnya, sebuah garis untuk merepresentasikan (-3) akan ditarik dari titik-asal ke titik (-3). Kedua garis ini sama panjangnya tetapi ditarik dalam arah yang berlawanan. Oleh sebuah itu, kita membuat mata-panah pada masing-masing garis itu untuk membedakan keduanya.

Sebuah garis yang merepresentasikan suatu magnitudo (dengan panjangnya) dan arah (dengan mata-panahnya) disebut vektor. Kita akan sangat sering menggunakan kata ini.

Oleh sebab itu, sebarang vektor mencakupkan magnitudo (atau ukuran) maupun arah.

Jika kita kalikan (+3) dengan faktor (-3), kita peroleh (-3), dengan kata lain, faktor (-1) memiliki pengaruh dalam memutar vektornya sebesar 180°.

Mengalikan dengan (-1) ekuivalen dengan mengalikan dengan j², yakni dengan faktor j dua kali. Oleh sebab itu mengalikan dengan faktor tunggal j akan memiliki separuh pengaruh tersebut dan memutar vektornya hanya sebesar 90°.

Faktor j selalu memutar vektor sebesar 90° dalam arah positif pada pengukuran sudut, yakni berlawanan arah dengan gerak jarum jam.

Jika kita mengalikan j3 dengan faktor j lagi, kita peroleh j²3, yakni (-3) dan diagramnya sesuai dengan hasil ini.

Jika kita kalikan (-3) dengan j lagi, sketsalah kedudukan baru vektornya pada diagram yang serupa!

Hasilnya diberikan pada frame berikutnya.

Marilah kita nyatakan kedua garis acuan itu dengan sumbu-X dan sumbu-Y, sebagaimana biasanya.

Anda akan lihat bahwa:

1. Skala pada sumbu-X merepresentasikan bilangan real. Oleh sebab itu, sumbu-X ini disebut sumbu real.
2. Skala pada sumbu-Y merepresentasikan bilangan imajiner. Oleh sebab itu, sumbu-X ini disebut sumbu imajiner.

Pada diagram yang serupa, sketsalah vektor-vektor untuk mrepresentasikan:

(a) 5     (b) -4     (c) j2      (d) -j
Hasilnya adalah sebagai berikut:

Periksalah apah vektor Anda itu memiliki mata-panah untuk menunjukkan arah?

Jika kita sekarang ingin menyatakan 3 + 2 sebagai jumlah dua buah vektor, kita harus menggambar keduanya sebagai rantai, vektor kedua berawal dari ujung vektor pertama.

Kedua vektor, 3 dan 2, keduanya ekuivalen dengan vektor tunggal yang ditarik dari titik asal ke ujung vektor akhir (yang secara alami menghasilkan bahwa 3 + 2 = 5).

Jika kita ingin merepresentasikan bilangan kompleks (3 + j2), maka kita tambahkan vektor yang mewakili 3 dengan vektor yang mewakili j2.

Perhatikan bahwa vektor 2 ini sekarang dikalikan dengan faktor j yang memutar vektor itu sebesar 90º.
vektor tunggal ekuivalen yang merepresentasikan (3 + j2) adalah sebuah vektor yang berpangkal pada pangkal dari vektor pertama (titik-asal) dan berujung pada ujung vektor terakhir.

Representasi grafis ini menghasilkan diagram Argand.

Gambarlah diagram Argand untuk merepresentasikan vektor:
(a) z₁ = 2 + j3
(b) z₂  = -3 + j2
(c) z₃ = 4 - j3
(d) z₄  = -4 - j5

Berilah nama untuk masing-masing vektor secara jelas.

Beginilah caranya. Periksalah diagram anda!

Perhatikan sekali lagi bahwa ujung setiap vektor diplot sangat mirip dengan memplot koordinat x dan y.

Bagian real berkorespons dengan nilai-x.
Bagian imajiner berkorespons dengan nilai-y.