BILNGAN KOMPLEKS 8

Pada bagian sebelumnya, kita telah menemukan bagaimana memanipulasi bilangan kompleks ini dalam penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Kita juga telah melihat bahwa suatu bilangan kompleks a + jb dapat juga dinyatakan dalam bentuk polar, yang selalu berbentuk r(cos θ + j sin θ).

     Anda akan ingat bahwa nilai-nilai r dan θ dapat secara mudah dicari dari diagram vektor yang bersangkutan:

                     

dan 
                              

Untuk memastikan bahwa Anda telah mengambil nilai θ yang benar, selalulah menggambar diagram sketsa untuk melihat di kuadran keberapakah vektor itu berada.

     Ingatlah bahwa θ selalu diukur dari OX, yakni sumbu OX positif.

Contoh 1:

Nyatakanlah z = 12 - j5 dalam bentu polar!

Jawab:

r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

∴ r = 13

∴ E = 22°37'

Dalam hal ini, θ = 360° - E = 360° - 22°37' =337°23'         ∴ θ = 337°23'

z = r(cos θ + j sin θ) = 13(cos 337°23' + j sin 337°23')

∴ z = 13(cos 337°23' + j sin 337°23')

Contoh 2:

Nyatakanlah -5 - j4 dalam bentuk polar!

Jawab:

r² = (-5)² +(- 4)² = 25 + 16 = 41

∴ r = 6,403

∴ E = 38°40' Dalam hal ini, θ = 180° + E = 180° + 38°40' =218°40'         ∴ θ = 218°40'

z = r(cos θ + j sin θ) = 6,403(cos 218°40' + j sin 218°40')
Jadi z = -5 - j4 =  6,403(cos 218°40' + j sin 218°40')

Karena setiap bilangan kompleks dalam bentuk polar akan berbentuk sama, yakni r(cos θ + j sin θ) dan berbeda dari bilangan kompleks lain hanya dari nilai r dan θ, kita memiliki metode singkat dalam menuliskan hasilnya untuk bentuk polar. Masih ingatkah Anda? Cara singkat untuk menuliskan hasil di atas, yakni 6,403(cos 218°40' + j sin 218°40'), ialah:

 

Benar, demikian pula:
5,72(cos 322°15' + j sin 322°15')             ditulis 
5(cos 105° + j sin 105°)                                ditulis 

3,4(cos  + j sin )                                         ditulis 

Semuanya merupakan bilangan kompleks dalam bentuk polar. Semuanya berbentuk sama dan berbeda satu sama lain hanya pada nilai r dan θ.
Contoh 3:
Nyatakanlah z = 4 - j3 dalam bentuk polar!
Pertama-tama kita lukis diagramnya:

Dari sini: 
r = 5

∴ E = 36°52'θ = 360° - 36°52' = 323°8'  z = 4 - j3 = 5(cos 323°8' + j sin 323°8')atau dalam bentuk singkatnya,

Dalam contoh sebelumnya kita peroleh:
 z = 5(cos 323°8' + j sin 323°8')

Tetapi arah vektornya yang diukur dari OX, dapat dinyatakan sebagai 36°52', tanda minus menunjukkan bahwa kita sedang mengukur sudutnya dengan arah yang berlawanan dari arah positif yang biasa.

Kita dapat menulis z = 5(cos [-36°52'] + j sin [-36°52']). Tetapi Anda telah mengetahui bahwa cos [-θ] = cos θ  dan sin[-θ] = - sin θ.
z = 5(cos 36°52' - j sin 36°52')
artinya, sangat mirip dengan bentuk polarnya tetapi dengan tanda minus ditengahnya. Ini akan terjadi bilamana kita menggunakan sudut negatif. Dengan cara yang sama:
z = 4(cos 250° + j sin 250°)
   = 4(cos [-110°] + j sin [-110°])
   = 4(cos 110° - j sin 110°)      karena cos [-110°] = cos 110° dan sin [-110°] = -sin 110°.
Kadang-kadang kita lebih mudah menggunakan bentuk ini apabila nilai θ lebih besar daripada 180°, yakni dalam kuadran ketiga dan keempat.
Berikut beberapa contohnya:
z = 3(cos 230° + j sin 230°)
   = 3(cos 130° - j sin 130°)
Serupa halnya:
z = 3(cos 300° + j sin 300°)   = 3(cos 60° - j sin 60°) 
z = 4(cos 290° + j sin 290°)   = 4(cos 70° - j sin 70°)
z = 2(cos 215° + j sin 215°)   = 2(cos 145° - j sin 145°)
z = 6(cos 310° + j sin 310°)   = 6(cos 50° - j sin 50°)  karena cos 310° = cos 50° 
                                                                                                                     dan sin 310° = -sin 50°.
Baru saja kita setuju bahwa tanda minus muncul untuk penggunaan sudut negatif. Untuk mengkonversi suatu bilangan kompleks yang diberikan dengan cara ini kembali ke bentuk polar yang sesuai, yakni dengan '+' di tengahnya, kita cukup bekerja ke arah semula. Sebuah bilangan kompleks dengan sebuah tanda negatif di tengahnya ekivalen dengan sebuah bilangan kompleks yang sama dengan sebuah tanda positif, tetapi dengan sebuah sudut yang dibuat negatif.
     Misalnya, z = 4(cos 30° - j sin 30°)
                             = 4(cos [-30°] + j sin [-30°])
                             = 4(cos 330° + j sin 330°) dan kita memperoleh kembali bentuk polar yang sesuai.
Soal:
Konversilah z = 5(cos 40° - j sin 40°) menjadi bentuk polar yang sesuai!
Jawab:
z = 5(cos 40° - j sin 40°) = 5(cos [-40°] + j sin [-40°]) = 5(cos 320° + j sin 320°)
Soal:
Nyatakanlah  z = 4(cos 100° - j sin 100°) dalam bentuk polar yang sesuai!
Jawab:
z = 4(cos 100° - j sin 100°) = 4(cos [-100°] + j sin [-100°]) = 4(cos 260° + j sin 260°)

Kita harus melihat bagaimana bentuk polar yang dimodifikasi ini dapat mempengaruhi notasi singkat kita.

Ingat, 5(cos 60° + j sin 60°) ditulis 

Jadi bagaimana kita menulis 5(cos 60° - j sin 60°)? Kita ketahui bahwa bilangan kompleks ini sebenarnya mengartikan 5(cos [-60°] + j sin [-60°]), sehingga kita dapat menulis . Tetapi, alih-alih menggunakan sudut negatif, kita gunakan lambang yang berbeda, dengan kata lain   menjadi . Serupa halnya, 3(cos 45° - j sin 45°) =  = .

Ini mudah diingat.

• untuk tandamenyerupai kuadran pertama dan memperlihatkan pengukuran sudut , yakni dalam arah positif,

• sementara tandamenyerupai kuadran keempat dan memperlihatkan pengukuran sudut , yakni dalam arah negatif.

        
Misalnya, (cos 15° + j sin 15°) ditulis 
tetapi (cos 15° - j sin 15°), yang sebenarnya (cos [-15°] + j sin [-15°]) ditulis 

Soal:
Bagaimanakah kita menuliskan (cos 120° + j sin 120°) dan (cos 135° - j sin 135°) dengan notasi singkat?
Jawab: