CATATAN ILMU: BILANGAN KOMMPLEKS 13

Wednesday, December 23, 2015

BILANGAN KOMMPLEKS 13

Masalah Lokus-lokus

Kita sering diminta mencari lokus (tempat kedudukan) suatu titik yang bergerak pada diagram Argand dengan suatu kondisi yang telah ditentukan. Sebelum kita mengerjakan satu atau dua contoh jenis ini, marilah kita ulang beberapa hal yang bermanfaat.

Anda akan ingat bahwa apabila kita sedang merepresentasikan suatu bilangan kompleks dalam bentuk polar, yakni z = a + jb = r (cos θ + j sin θ), kita katakan bahwa:

(a) r disebut modulus z dan ditulis 'mod z' atau |z|

(b) θ disebut argumenz dan ditulis 'arg z'.

Juga $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ dan $\theta =tan^{-1}(\frac{b}{a})$

$\textup{sehingga }\left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\textup{ dan }\arg z=\tan ^{-1}\left \{ \frac{b}{a} \right \}$

Serupa halnya, jika z = x + jy, maka:

$\left | z \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\textup{ dan }\arg z=\tan ^{-1}\left \{ \frac{y}{x} \right \}$

Ingatlah hasil ini dan kita sekarang siap menangani beberapa contoh.

Contoh 1:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan oleh |z| = 5.

Sekarang kita ketahui bahwa dalam hal ini

$\left | z \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Lokus ini didefinisikan sebagai

$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5$

$\therefore x^{2}+y^{2}=25$

Ini merupakan sebuah lingkaran, denga pusat di titik asal dan dengan radius 5.

Contoh 2:

Jika z = x + jy, carilah lokus yang didefinisikan sebagai $\arg z=\frac{\pi }{4}$ .

Dalam hal ini $\arg z=\tan ^{-1}\left \{ \frac{\pi }{4} \right \}$ $\therefore \tan ^{-1}\left \{ \frac{y }{x} \right \}= \frac{\pi }{4}$

$\therefore \frac{y }{x} =\tan \frac{\pi }{4}=\tan 45^{\circ}=1\textup{ }\therefore \frac{y }{x}=1\textup{ }\therefore y=x$

Jadi lokus $\arg z=\frac{\pi }{4}$ dengan demikian adalah garis lurus y = x dan y > 0.

Contoh 3:

Jika z = x + jy, carilah persamaan lokus $\left | \frac{z+1}{z-1} \right|=2.$

Karena z = x + jy:

Apa yang sekarang tersisa ialah mengalikannya dengan penyebutnya dan menyederhanakan hasilnya. Jadi selesaikanlah persamaan ini hingga bentuk yang paling sederhana.

Kita peroleh

Oleh sebab itu

Ini persamaan utuk lokus yang diberikan

Walaupun membutuhkan waktu yang lama untuk menuliskannya daripada kedua contoh yang pertama, prinsip dasarnya tetap sama. Keadaan yang diberikan haruslah berupa suatu fungsi modulus atau argumennya.

Contoh 4:

Jika z = x + jy, carilah persamaan lokus $\arg \left ( z^{2} \right )=-\frac{\pi }{4}.$

$z=x+jy=r\underline{|\theta }$    $\therefore \arg z=\theta =\tan ^{-1}\left \{ \frac{y}{x} \right \}$
$\therefore \tan \theta = \frac{y}{x}$
$\therefore\textup{ Menurut Teorema DeMoivre, }z^{2}=r^{2} \underline{|2\theta }$
$\therefore\arg \left ( z^{2} \right )=2\theta =-\frac{\pi }{4}$
$\therefore\tan2\theta=\tan \left ( -\frac{\pi }{4}\right )=-1$
$\therefore\frac{2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }=-1$
$\therefore2\tan \theta=\tan ^{2}-1$
$\textup{Tetapi, }\tan \theta=\frac{y}{x}$ $\therefore \frac{2y}{x}=\frac{y^{2}}{x^{2}}-1$
$2xy=y^{2}-x^{2}\textup{ }\therefore y^{2}=x^{2}+2xy$
Dalam contoh di atas, keadaan yang diberikan ialah suatu fungsi argumen.
Contoh 5:
Jika z = x + jy, carilah persamaan untuk lokus $(z+1)=\frac{\pi }{3}.$
Berikut merupakan penyelesaiannya yang dikerjakan secara rinci.
$z=x+jy$    $\therefore z+1= x+jy+1=(x+1)+jy$
$\arg (z+1)=\tan ^{-1}\left \{ \frac{y}{x+1} \right \}=\frac{\pi }{3}$    $\therefore \frac{y}{x+1}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$
$y=\sqrt{3}(x+1)\textup{ untuk }y> 0$

Contoh 6:
Jika z = x + jy, carilah persamaan untuk lokus |z - 1| = 5.
Beginilah caranya: z = x + jy, diketahui lokus |z - 1| = 5.
$z-1=x+jy-1=(x-1)+jy$
$\therefore \left | z-1 \right |=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=5$ $\therefore (x-1)^{2}+y^{2}=25$
$\therefore x^{2}-2x+1+y^{2}=25$ $\therefore x^{2}-2x+y^{2}=24$
Ini sangat mirip

CATATAN ILMU

Wednesday, December 23, 2015

BILANGAN KOMMPLEKS 13

No comments:

Post a Comment