CATATAN ILMU: BILANGAN KOMPLEKS 9

Tuesday, December 22, 2015

BILANGAN KOMPLEKS 9

Bentuk polar pertama kali tampak sebagai suatu cara yang rumit dalam merepresentasikan bilangan kompleks. Akan tetapi, cara ini sangat bermanfaat, sebagaimana yang akan kita lihat. Anggaplah kita mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk ini:

Misalkan $z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+j\sin \theta _{1})$ dan $z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{2})$ ,

Maka $z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos \theta _{1}+j\sin \theta _{1})r_{2}(\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{2})$ $=r_{1}r_{2}(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+j\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}+ j^{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2} )$

Dengan menyusun-ulang suku-sukunya dan mengigat bahwa $j^{2} =-1$ , kita peroleh

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\left [ (\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2})+j(\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2} ) \right ]$
Dengan mengingat bahwa: $\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=cos (\theta _{1}+ \theta _{2})$
dan

$\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}=\sin (\theta _{2}+\theta _{1})$
Maka kita peroleh:

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[(\cos (\theta _{1}+ \theta _{2}) +j\sin (\theta _{2}+\theta _{1})]$ .
Catalah hasil penting ini. Kita baru saja menunjukkan bahwa $r_{1}(\cos \theta _{1}+j\sin \theta _{1}).r_{2}(\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}[\cos (\theta _{1}+\theta _{2})+j\sin (\theta _{1}+\theta _{2})]$

dengan kata lain, untuk mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar, dapat dilakukan dengan cara:
(a) kalikan kedua r-nya
(b) tambahkan kedua sudutnya ( $\theta$ ).
Sungguh semudah itu!

Contoh 1:
$2\left ( \cos 30^{\circ} \right+j\sin 30^{\circ} )\times 3\left ( \cos 40^{\circ} \right+j\sin 40^{\circ} )$
$=2\times 3\left ( \cos [30^{\circ}+40^{\circ}] \right+j\sin [30^{\circ}+40^{\circ}] )$
$=6\left ( \cos 70^{\circ} +j\sin 70^{\circ} )$

Sekarang marilah kita lihat apakah kita dapat menemukan aturan yang serupa untuk pembagian?
Kita telah mengetahui bahwa untuk menyederhanakan $\frac{5+j6}{3+j4}$ , kita pertama-tama mendapatkan penyebut yang seluruhnya real dengan mengalikan atas dan bawah dengan konjugat penyebutnya, yaitu $3-j4$ .

Kemudian marilah kita lakukan hal yang sama pada $\frac{r_{1}\left ( \cos \theta _{1} +j\sin\theta _{1} \right )}{r_{2}\left ( \cos \theta _{2} +j\sin\theta _{2} \right )}$

$\frac{r_{1}\left ( \cos \theta _{1} +j\sin\theta _{1} \right )}{r_{2}\left ( \cos \theta _{2} +j\sin\theta _{2} \right )}=\frac{r_{1}\left ( \cos \theta _{1} +j\sin\theta _{1} \right )\left ( \cos \theta _{2} -j\sin\theta _{2} \right )}{r_{2}\left ( \cos \theta _{2} +j\sin\theta _{2} \right )\left ( \cos \theta _{2} -j\sin\theta _{2} \right )}$
$=\frac{r_{1}}{r_{2}}\frac{( \cos \theta _{1}\cos \theta _{2} +j \sin \theta _{1}\cos \theta _{2}-j\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2} )}{\cos ^{2}\theta_{2} +\sin ^{2}\theta_{2}}$
$=\frac{r_{1}}{r_{2}}\frac{\left [ \left ( \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2} \right )+j\left ( \sin \theta _{1}\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}\sin \theta _{2} \right ) \right ]}{1 }$
$=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \cos (\theta _{1}-\theta _{2}+j\sin (\theta _{1}-\theta _{2}) \right ]$

Jadi, untuk pembagian, aturannya ialah bagi r-nya dan kurangkan sudutnya

Contoh2:

$\frac{6\left ( \cos 72^{\circ}+j\sin 72^{\circ} \right )}{2\left ( \cos 41^{\circ}+j\sin 41^{\circ} \right )}=3\left ( \cos 31^{\circ}+j\sin 31^{\circ} \right )$

Jadi sekarang kita memiliki dua aturan penting, yaitu:
Jika $z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+j\sin \theta _{1})$ dan $z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{2})$ , maka

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[(\cos (\theta _{1}+ \theta _{2}) +j\sin (\theta _{2}+\theta _{1})]$
dan
$\frac{ z_{1} }{ z_{2} }= \frac{ r_{1} }{ r_{2} }[\cos( \theta_{1}-\theta_{2} )+j\sin( \theta_{1}-\theta_{2} )]$
Hasilnya tentu saja masih dala bentuk polar

Contoh 3:

$\textup{Jika }z_{1}=8(\cos 65^{\circ}+j\sin 65^{\circ})\textup{ dan }z_{2}=4(\cos 23^{\circ}+j\sin 23^{\circ})\textup{ maka }$

$z_{1}z_{2}=32(\cos 88^{\circ}+j\sin 88^{\circ}) \textup{ dan }\frac{z_{1}}{z_{2}}=2(\cos 42^{\circ}+j\sin 42^{\circ})$

Tentu saja kita dapat menggabungkan aturan-aturan itu dalam satu contoh tunggal, sebagaimana yang berikut ini:

Contoh 4: $\frac{5(\cos 60^{\circ}+j\sin 60^{\circ})\times 4(\cos 30^{\circ}+j\sin 30^{\circ})}{32(\cos 88^{\circ}+j\sin 88^{\circ})}$
$=\frac{20(\cos 90^{\circ}+j\sin 90^{\circ})}{2(\cos 50^{\circ}+j\sin 50^{\circ})}$
$=10(\cos 40^{\circ}+j\sin 40^{\circ})$

Contoh 5: $4(\cos 20^{\circ}+j\sin 20^{\circ})\times 3(\cos 30^{\circ}+j\sin 30^{\circ})\times 2(\cos 40^{\circ}+j\sin 40^{\circ})$
$=4\times 3\times 2[\cos (20^{\circ}+30^{\circ}+40^{\circ})+j\sin (20^{\circ}+30^{\circ}+40^{\circ})]$
$=24[\cos (90^{\circ})+j\sin (90^{\circ})]$

CATATAN ILMU

Tuesday, December 22, 2015

BILANGAN KOMPLEKS 9

No comments:

Post a Comment