CATATAN ILMU: BILANGAN KOMPLEKS 10

Sekarang kita telah siap untuk meneruskan ke bagian yang sangat penting yang merupakan lanjutan dari pembahasan kita tentang perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar.

Kita telah menetapkan bahwa:

$\textup{Jika }z_{1}=r_{1}(\cos \theta _{1}+j\sin \theta _{1})\textup{ dan }z_{2}=r_{2}(\cos \theta _{2}+j\sin \theta _{2})$

$\textup{maka }z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[\cos (\theta _{1}+\theta _{2})+j\sin (\theta _{1}+\theta _{2})]$

$\textup{Jadi jika }z_{3}=r_{3}(\cos \theta _{3}+j\sin\theta _{3})\textup{ maka kita peroleh}$

$z_{1}z_{2}z_{3}=r_{1}r_{2}r_{3}[\cos (\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})+j\sin\(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})]$

karena pada perkalian, kita mengalikan modulus dan menambahkan argumen-argumennya.

$\textup{Sekarang misalkan bahwa }z_{1},z_{2},z_{3}\textup{ semua sama dan bahwa masing-masingnya sama dengan }z=r(\cos \theta +j\sin \theta ).\textup{ Maka hasil yang di atas menjadi:}$

$z_{1}z_{2}z_{3}=r.r.r[\cos (\theta+\theta+\theta) +j\sin (\theta+\theta+\theta)]$

$=r^{3}(\cos 3\theta +j\sin 3\theta)$

$\textup{atau }z^{3}=[r(\cos \theta +j\sin \theta)]^{3}=r^{3}(\cos \theta +j\sin \theta)^{3}$

$=r^{3}(\cos 3\theta +j\sin 3\theta)$

karenDengan kata lain, jika ingin memangkat-tigakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, kita cukup memangkat-tigakan modulusnya (nilai r) dan mengalikan argumennya ( $\theta$ ) dengan 3.
Serupa halnya, untuk mengkuadratkan bilangan kompleks dalam bentuk polar, kita kuadratkan modulusnya (nilai r) dan mengalikan argumennya ( $\theta$ ) dengan 2, yakni [r(cos $\theta$ + j sin $\theta$ )]² = r²(cos 2 $\theta$ + j sin 2 $\theta$ ).

Marilah kita perhatikan lagi hasil-hasil ini:
[r(cos $\theta$ + j sin $\theta$ )]² = r²(cos 2 $\theta$ + j sin 2 $\theta$ )
[r(cos $\theta$ + j sin $\theta$ )]³ = r³(cos 3 $\theta$ + j sin 3 $\theta$ )
serupa halnya:
${\color{Blue}[r(\cos \theta +j\sin \theta )]^{4}=r^{4}(\cos 4\theta +j\sin 4\theta ) }$
${\color{Blue}[r(\cos \theta +j\sin \theta )]^{5}=r^{5}(\cos 5\theta +j\sin 5\theta ) }$
Umumnya, kita dapat mengatakan:

${\color{Blue}[r(\cos \theta +j\sin \theta )]^{n}=r^{n}(\cos n\theta +j\sin n\theta ) }$

Hasil umum ini sangat penting dan disebut teorema DeMoivre. Teorema ini mengatakan bahwa untuk memangkatkan suatu bilangan kompleks dalam bentuk polar ke pangkat n, kita pangkatkan r dengan pangkat n dan mengalikan sudutnya dengan n.

Contoh 1:

$[4(\cos 50^{\circ} +j\sin 50^{\circ} )]^{2}=4^{2}[\cos (2\times50^{\circ} ) +j\sin (2\times50^{\circ})])$

$=16(\cos 100^{\circ} +j\sin 100^{\circ})$

$[3(\cos 110^{\circ} +j\sin 110^{\circ} )]^{3}=3^{3}[\cos (3\times110^{\circ} ) +j\sin (3\times110^{\circ})]$

$=27[\cos 330^{\circ} +j\sin 330^{\circ}]$

$[2(\cos 37^{\circ} +j\sin 37^{\circ} )]^{4}=2^{4}[\cos (4\times37^{\circ} ) +j\sin (4\times37^{\circ})]$

$=16[\cos 148^{\circ} +j\sin 148^{\circ}]$

Karena inilah bentuk polar menjadi terkenal! Teorema DeMoivre juga berlaku ketika kita memangkatkan bilangan kompleks ke pangkat pecahan, yakni ketika kita sedang mencari akar suatu bilangan kompoleks.
Misalnya, untuk mencari akar kuadrat z = 4 (cos 70°+ j sin 70°)
$\textup{Kita peroleh }\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}=[4 (\cos 70^{\circ}+ j \sin 70^{\circ})]^{\frac{1}{2}}\textup{ yakni, }n=\frac{1}{2}$
$=4^{\frac{1}{2}}\left ( \cos \frac{70^{\circ}}{2} +j\sin\frac{70^{\circ}}{2} \right )$
$=2\left ( \cos 35^\circ +j\sin35^\circ \right )$
Teorema ini berlaku kapan saja, tidak menjadi masalah apakah pangkatnya positif, negtif, bilangan bulat atau pecahan. Sebenarnya Teorema DeMoivre sangatlah penting. Marilah kita tulis teorema itu sekali lagi. Begini, untuk sebarang nilai n berlaku:
${\color{Blue} \textup{Jika }z=r\left ( \cos \theta +j\sin\theta \right )\textup{, maka }z^{n}=r^{n}\left ( \cos n\theta +j\sin n\theta \right )}$

Lihat kembali pencarian akar suatu bilangan kompleks. Marilah kita cari akar pangkat tiga dari z = 8(cos 120° + j sin 120°). Inilah bilangan kompleks yang diketahui yang diperlihatkan pada diagram Argand:
$z=8\underline{|120^{\circ}}$
Tentu saja, kita dapat mengatakan bahwa $\theta$ adalah '1 putaran + 120°': vektornya akan tetap pada kedudukan yang sama, atau, untuk hal itu(2 putaran + 120°), (3 putaran + 120°), dan seterusnya.
Misalnya z = 8|120° atau 8|480° atau 8|840° atau 8|1200° dan sterusnya. Dan jika kita sekarang menggunakan Teorema DeMoivre untuk masing-masing bilangan kompleks ini, kita peroleh:

Jika hasil di atas disederhanakan, kita peroleh:
$z^{1/3}=2\left| \underline{40^{\circ}} \right \textup{ atau }2\left| \underline{160^{\circ}} \right \textup{ atau }2\left| \underline{280^{\circ}} \right \textup{ atau }2\left| \underline{400^{\circ}} \right\textup{ dst.}$
Jika masing-masing bilangan kompleks di atas kita buat pada diagram Argand, sebagai berikut:

Kita lihat, kita memiliki tiga hasil yang sangat berbeda untuk akar pangkat-tiga dari z dan juga bahwa diagram keempat akan merupakan pengulangan dari diagram pertama. Sebarang perhitungan berikutnya hanyalah mengulangi ketiga posisi ini.
Sketsa ketiga vektor pertama dari akar pangkat-tiga z = 8(cos 120° + j sin 120°) di atas pada diagram Argand tunggal, dapat digambarkan sebagai berikut:

Oleh sebab itu, kita lihat bahwa terdapat 3 akar pangkat-tiga dari suatu bilangan kompleks. Juga, jika Anda memperhatikan sudutnya, Anda akan lihat bahwa ketiga akar itu sama jaraknya pada diagram tersebut, sebarang dua vektor yang bersebelahan dipisahkan sebesar 120°.

Benar. Oleh sebab itu yang perlu kita lakukan pada prakteknya ialah mencari akar yang pertama dan cukup menambahkan 120° untuk memperoleh akar berikutnya -dan seterusnya.

Perhatikan bahwa ketiga akar pangkat-tiga suatu bilangan kompleks mempunyai modulus (ukuran) yang sama dan terpisah dengan jarak yang sama pada interval $\frac{360^{\circ}}{3}$ yakni 120°.

Contoh 2:
Untuk mencari ketiga akar pangkat-tiga dari suatu bilanangan kompleks z = 5(cos 225° + j sin 225°), akar pertama diberikan oleh $z_{1}=z^{1/3}=5^{1/3}\left ( \cos \frac{225^{\circ}}{3} +j\sin \frac{225^{\circ}}{3}\right )$
$=1,71\left ( \cos 75^{\circ} +j\sin 75^{\circ}\right )$
$z_{1}=1,71\left| \underline{75^{\circ}} \right$
Kita kethui bahwa akar pangkat-tiga lainnya mempunyai panjang (modulus) yang sama, yakni 1,71, dan dipisakan dengan interval $\frac{360^{\circ}}{3}$ yakni 120°.
Jadi ketiga akar pangkat-tiga tersebut ialah: $z_{1}=1,71\left| \underline{75^{\circ}} \right$
$z_{2}=1,71\left| \underline{195^{\circ}} \right$
$z_{3}=1,71\left| \underline{315^{\circ}} \right$
Inilah diagramnya

Kita cari akar sebarang dari suatu bilangan kompleks dengan cara yang sama:
(a) Gunakan Teorema DeMoivre untuk mencari akar pertama dari n akarnya.

(b) Akar lain dengan demikian akan terdistribusi di sekeliling diagran dengan interval yang tetap sebesar $\frac{360^{\circ}}{n}$ .

Oleh sebab itu, suatu bilangan kompleks memiliki:

2 akar kuadrat yang dipisahkan sebesar $\frac{360^{\circ}}{2}$ , yakni 180°.3 akar pangkat-tiga yang dipisahkan sebesar $\frac{360^{\circ}}{3}$ , yakni 120°.

4 akar pangkat-empat yang dipisahkan sebesar $\frac{360^{\circ}}{4}$ , yakni 90°.

4 akar pangkat-empat yang dipisahkan sebesar $\frac{360^{\circ}}{5}$ , yakni 72°. dll.

Contoh 3:

Carilah akar pangkat-lima dari z = 12|300°!
Jawab: $z_{1}=12^{1/5}\left| \underline{ \frac{300^{\circ}}{5} } \right$
$z_{1}= 12^{1/5}\left| \underline{ 60^{\circ}} \right$

Kita sekarang harus mencari nilai $12^{1/5}$ . Lakukan ini dengan logaritma.
Misalkan A = $12^{1/5}$ . Maka log A = 1/5 log 12 = 1/5 (1,0792) = 0,2158
Jadi A = 1,644

Oleh sebab itu, akar pertama dari akar pangkat-lima ini ialah $z_{1} =1,644\left| \underline{ 60^{\circ}} \right$ .
Akar-akar yang lain akan sama modulusnya, yakni 1,644, dan sama-sama terpisah dengan interval $\frac{360^{\circ}}{5}$ , yakni 72°.
Jadi kelima akar pangkat-lima dari z = 12|300° ini ialah: $z_{1}= 1,644\left| \underline{ 60^{\circ}} \right$ $z_{2}= 1,644\left| \underline{ 132^{\circ}} \right$ $z_{3}= 1,644\left| \underline{ 204^{\circ}} \right$
$z_{4}= 1,644\left| \underline{ 276^{\circ}} \right$ $z_{5}= 1,644\left| \underline{ 348^{\circ}} \right$

Hal ini sebagaimana diagambarkan pada diagram Argand berikut:

Walaupun terdapat lima akar pangkat-lima dari suatu bilangan kompleks, kita kadang-kadang diminta untuk mencari akar prinsipalnya. Akar prinsipal ini selalu merupakan akar yang vektornya paling dekat ke sumbu OX positif.
Dalam beberapa hal, akar prinsipal ini dapat saja berupa akar akar pertama. Pada hal-hal lain, akar prinsipal ini dapat saja akar terakhir. Satu-satunya pengujian dengan melihat akar mana yang terdekat dengan sumbu OX positif. Jika akar pertama dan terakhir berjarak sama dari sumbu-x, akar prinsipalnya diambil sama dengan akar pertama.
Oleh sebab itu, pada contoh 3 di atas, akar prinsipalnya ialah $z_{5}= 1,644\left| \underline{ 348^{\circ}} \right$

Contoh 4:
Akar pangkat-empat dari z = 7(cos 80° + j sin 80°) adalah sebagai berikut:
Akar pertama $z_{1}= 7^{1/4}\left| \underline{ \frac{80^{\circ}}{4} } \right$
$z_{1}= 7^{1/4}\left| \underline{ 20^{\circ} } \right$

Kita sekarang harus mencari nilai $7^{1/4}$ . Lakukan ini dengan logaritma.Misalkan A = $7^{1/4}$ . Maka log A = 1/4 log 7 = 1/4 (0,8451) = 0,2113 dan A = 1,627

Sehingga $z_{1}= 1,627\left| \underline{ 20^{\circ}} \right$
Akar-akar yang lain akan sama modulusnya, yakni 1,627, dan sama-sama terpisah dengan interval $\frac{360^{\circ}}{4}$ , yakni 90°. Oleh sebab itu, keempat akar pangkat-empat ini ialah: $z_{1}= 1,627\left| \underline{ 20^{\circ}} \right$ $z_{2}= 1,627\left| \underline{ 110^{\circ}} \right$
$z_{3}= 1,627\left| \underline{ 200^{\circ}} \right$ $z_{4}= 1,627\left| \underline{ 290^{\circ}} \right$
Jika keempat akar pangkat-empat di atas digambarkan pada diagram Argand akan tampak sebagai berikut:

Pada contoh 4 ini akar pangkat-empat prinsipalnya ialah:
$z_{1}= 1,627\left| \underline{ 20^{\circ}} \right$

karena akar inilah yang paling dekat ke sumbu OX positif.

Contoh 5:
Akar pangkat-tiga dari z = 6(cos 240° + j sin 240°) adalah sebagai berikut:
Akar pertama $z_{1}= 6^{1/3} \left | \underline{ \frac{240^{\circ}}{3} } \right$

$z_{1}= 1,817 \left | \underline{ 80^{\circ}} \right$
Interval diantara akar-akarnya adalah sebesar $\frac{360^{\circ}}{3}$ , yakni 120°.
Oleh sebab itu, akar-akarnya ialah:
$z_{1}= 1,87\left| \underline{ 80^{\circ}} \right$ $z_{2}= 1,87\left| \underline{ 200^{\circ}} \right$ $z_{3}= 1,87\left| \underline{ 320^{\circ}} \right$

akar prinsipalnya (principal root) ialah akar yang terdekat ke sumbu OX positif. Maka dalam hal ini akar prinsipalnya ialah: $z_{3}= 1,87\left| \underline{ 320^{\circ}} \right$ Sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut:

CATATAN ILMU

Wednesday, December 23, 2015

BILANGAN KOMPLEKS 10

No comments:

Post a Comment