CATATAN ILMU: TRANSFORMASI LAPLACE INVERS

Thursday, December 24, 2015

TRANSFORMASI LAPLACE INVERS

Semua persamaan Transformasi Laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan dengan F(s). Dikatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x)} membentuk suatu pasangan transformasi (transform pair). Ini berarti bahwa jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi Laplace invers dari F(s). Kita menulis:

Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers, jadi Anda harus mencarinya dengan cara bekerja dari belakang ke depan. Contoh:

jika f(x) = 4 maka transformasi Laplace-nya $L{f(x)}=F(s) = \frac{4}{s}$

Jadi

jika $F(s) = \frac{4}{s}$ maka transformasi Laplace inversnya $L ^{-1} {F(s)} =f(x)=4$

Kemampuan untuk mencari transformasi Laplace dari suatu pernyataan dan kemudian menginverskannya inilah yang membuat transformasi Laplace sangat brguna untuk menyelesaikan persamaan diferensial, seperti yang akan segera Anda lihat.

Untuk sekarang, apakah transformasi Laplace invers dari $F(s) = \frac{1}{s-1}$ ?

Untuk menjawabnya, lihat transformasi-transformasi Laplace yang sekarang Anda ketahui. Jawabannya ada di frame selanjutnya

Karena Anda tahu bahwa: $L{e^{-kx}}=\frac{1}{s+k}\textup{ sehingga }L^{-1}\left \{ \frac{1}{s+k} \right \}=e^{-kx}$

$\textup{maka ketika k = -1, }L^{-1}\left \{ \frac{1}{s-1} \right \}=e^{-(-1)x}=e^{x}$
Untuk mempermudah proses pencarian bentuk-bentuk transformasi Laplace beserta inversnya kita menggunakan sebuah tabel. Di frame berikutnya ada sebuah tabel yang berisi apa yang Anda sudah ketahui sampai di sini.

Tabel transformasi Laplace

Dengan membaca tabel dari kiri ke kanan akan didapatkan transformasi Laplace dan dengan membaca tabel dari kanan ke kiri akan didapatkan transformasi Laplace invers.

Gunakan tabel ini, apabila mungkin, untuk menjawab pertanyaan dalam Latihan revisi. Kalau tidak mungkin, gunakanlah definisi dasar dalam Frame 1.

Rangkuman revisi

Transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai

dimana s adalah suatu variabel yang nilai-nilainya dipilih sedemikian rupa sehingga integral semi-infinitnya konvergen.

Jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi Laplace invers dari F(s). Kita menulis:

Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers, jadi Anda harus mencari langsung dengan menggunakan Tabel transformasi Laplace.

Latihan revisi

Tentukan transformasi Laplace dari soal di bawah ini. Dalam setiap soal f(x) terdefinisi untuk x ≥ 0.

$\textup{1. }f(x)=-3$ $\textup{2. }f(x)=e$ $\textup{3. }f(x)=e^{2x}$

$\textup{4. }f(x)=-5e^{-3x}$ $\textup{5. }f(x)=2e^{7x-2}$

Tentukan transformasi Laplace invers dari setiap soal di bawah ini:

$\textup{6. }F(s)=-\frac{1}{s}$ $\textup{7. }F(s)=\frac{1}{s-5}$ $\textup{8. }F(s)=\frac{3}{s+2}$

$\textup{9. }F(s)=-\frac{3}{4s}$ $\textup{10. }F(s)=\frac{1}{2s-3}$

Penyelesaiannya ada di frame berikutnya.

$\textup{1. }f(x)=-3$

$\textup{Karena }L\left \{ k \right \}=\frac{k}{s}\textup{ asalkan }s> 0,$ $L\left \{ -3 \right \}=-\frac{3}{s}\textup{ asalkan }s>0$

$\textup{2. }f(x)=e$

$\textup{Karena }L\left \{ k \right \}=\frac{k}{s}\textup{ asalkan }s> 0,$ $L\left \{ e \right \}=\frac{e}{s}\textup{ asalkan }s>0$

$\textup{3. }f(x)=e^{2x}$

$\textup{Karena }L\left \{ e^{-kx} \right \}=\frac{1}{s+k}\textup{ asalkan }s>-k,$

$L\left \{ e^{2x} \right \}=\frac{1}{s-2}\textup{ asalkan }s>2$

$\textup{4. }f(x)=-5e^{-3x}$

$L\left \{ -5e^{-3x} \right \}=-\frac{5}{s+3}\textup{ asalkan }s>-3$

$\textup{5. }f(x)=2e^{7x-2}$

$L\left \{ 2e^{7x-2} \right \}=-\frac{2e^{-2}}{s-7}\textup{ asalkan }s>7$

$\textup{6. }F(s)=-\frac{1}{s}$

$\textup{Karena }L^{-1}\left \{ \frac{k}{s} \right \}=k,$ $L^{-1}\left \{ -\frac{1}{s} \right \}=L^{-1}\left \{ \frac{-1}{s} \right \}=-1$

$\textup{7. }F(s)=\frac{1}{s-5}$

$\textup{Karena }L^{-1}\left \{ \frac{1}{s+k} \right \}=e^{-kx},$ $L^{-1}\left \{ \frac{1}{s-5} \right \}=e^{-(-5)x}=e^{5x}$

$\textup{8. }F(s)=\frac{3}{s+2}$

$\textup{Karena }L^{-1}\left \{ \frac{1}{s+2} \right \}=e^{-2x}\textup{ dan }L\left \{ 3e^{-2x} \right \}=3L\left \{ e^{-2x} \right \}=\frac{3}{s+2}$

$\textup{maka }L^{-1}\left \{ \frac{3}{s+2} \right \}=3e^{-2x}$

$\textup{9. }F(s)=-\frac{3}{4s}$

$F(s)=-\frac{3}{4s}=\frac{-3/4}{s}\textup{ sehingga }$

$L^{-1}\left \{ -\frac{3}{4s} \right \}=L^{-1}\left \{ \frac{-3/4}{s} \right \}=-3/4$

$\textup{10. }F(s)=\frac{1}{2s-3}$

$F(s)=\frac{1}{2s-3}=\frac{\frac{1}{2}}{s-\frac{3}{2}}\textup{ sehingga}$

$f(x)=L^{-1}\left \{ \frac{1}{2s-3} \right \}=L^{-1}\left \{ \frac{\frac{1}{2}}{s-\frac{3}{2}} \right \}=\frac{1}{2}3^{\frac{3}{2}x}$

Next

Back

CATATAN ILMU

Thursday, December 24, 2015

TRANSFORMASI LAPLACE INVERS

No comments:

Post a Comment