BILANGAN KOMPLEKS 11

Ekspansi cos nθ dan sin nθ, dimana n adalah bilangan positif
Dengan teorema DeMoivre, kita ketahui bahwa:

Metode ini semata-mata hanyalah menguraikan sisi kanan sebagai deret binomial, yang setelah itu kita dapat menyamakan bagian real dan bagian imajinernya.
     Contoh berikut akan segera menunjukkan kepada Anda bagaimana penguraian itu dilakukan:
Untuk menguraikan cos 3θ dan sin 3θ, kita ketahui:

                                 

Sekarang uraikanlah ini dengan deret binomial - seperti (a + b)³ sehingga

cos 3θ + j sin 3θ = c + j 3c²s - 3cs² - js³

Karena
cos 3θ + j sin 3θ = c³ + 3c²(js) + 3c(js)² + (js)³
                                = c³ + j 3c²s - 3cs² - j s³       
                                = (c³ - 3cs²)+ j (3c²s  - s³)
Sekarang dengan menyamakan bagaian-bagian real dan bagian-bagian imajinernya, akan kita peroleh:


Jika kita ingin kita dapat mengganti sin²θ dan dengan (1 - cos² θ) dan cos²θ dan dengan (1 - sin² θ),
sehingga kita dapat menulis hasil-hasil di atas sebagai

Karena

dan

Walaupun hasil-hasil ini bermanfaat, sebearnya metodenyalah yang sangat penting. Jadi sekarang Anda kerjakan yang ini persis dengan cara yang sama: 
Soal:
Dapatkanlah pernyataan untuk cos 4θ dalam suku-suku cos θ.
Jawab:

Caranya:

Dengan menyamakan bagian-bagian realnya diperoleh:

Terbukti.