BILANGAN KOMPLEKS 6

Bentuk Polar Bilangan Kompleks 

Kadang-kadang lebih mudah apabila kita menyatakan suatu bilangan kompleks a + jb dalam bentuk yang lain. Pada diagram Argand, misalkan OP merupakan vektor a + jb. Misalkan r = panjang vektor tersebut dan θ merupakan sudut yang dibuatnya dengan OX.

Maka  

                     

dan 
                              
Juga

Karena z = a + jb, ini dapat ditulis             z = r cos θ  + j(r sin θ)   yakni         z = r (cos θ  + j sin θ) Ini disebut bentuk polar billangan kompleks a + jb, dimana              dan

Marilah kita ambil contoh numeriknya

Untuk menyatakan z = 4 + j3 dalam bentuk polar, pertama-tama lukiskanlah diagram sketsa (yang selalu membantu). Kita dapat lihat bahwa:

(a) r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
       r = 5
(b) tan θ =  = 0,75; sehingga θ = 36º52'
              

z = r (cos θ  + j sin θ)

Jadi dalam hal ini z = 5 (cos 36º52'  + j sin 36º52').

Berikut ini satu soal lagi untuk Anda kerjakan.

Carilah bentuk polar dari bilangan kompleks (2 + j3)! Apabila Anda telah menyelesaikannya, lihatlah ke frame berikut.

 z = 3,606 (cos 56º19'  + j sin 56º19')

Beginilah caranya:

z = 2 + j3 = r (cos θ  + j sin θ)

r² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13; sehingga r = 3,606 

tan θ =  = 1,5                          θ = 56º19' Sehingga z = 3,606 (cos 56º19'  + j sin 56º19') Kita memiliki nama khusus untuk nilai r dan θ ini: z = a + jb = r (cos θ  + j sin θ) r disebut modulus bilangan kompleks z dan sering disingkat menjadi 'mod z' atau ditandai dengan |z|. Dengan demikian jika z = 2 + j5 maka

• θ disebut argumen bilangan kompleks dan dapat disingkat menjadi 'arg z'. Jadi jika z = 2 + j5, maka

Peringatan: Dalam mencari θ, tentu saja terdapat dua sudut di antara 0° dan 360°, yang tangennya memiliki nilai . Kita harus berhati-hati dalam menggunakan sudut dalam kuadran yang benar. Selalulah melukis sketsa vektornya untuk memastikan Anda telah memiliki vektor yang benar.

Misalnya, carilah arg z apabila z = -3 - j4. θ diukur dari OX ke OP. Kita pertama-tama mencari E, sudut lancip ekuivalen dari segitiga yang ditunjukkan: 

tan E =  = 1,333. Jadi E = 53°8'Maka dalam hal ini:θ = 180° + E = 233°8'     arg z = 233°8'

Sekarang carilah arg (-5 + j2)!

Penyelesaian:
z  = -5 + j2

tan E =  = 0,4. Jadi E = 21°48' Dalam hal kasusu ini, θ = 180° - E  ⇒ θ = 158°12' Bilangan-bilangan kompleks dalam bentuk polar selalu berbentuk sama dan hanya berbeda pada nilai aktual pada r dan θ. Kita sering menggunakan versi singkat r |θ untuk menyatakan bentuk polarnya. Contoh, jika z = -5 + j2, r =  dan dari yang di atas θ = 158°12' Jadi bentuk polar lengkap ialah z = 5,385 (cos 158°12' + j sin 158°12') dan ini dapat disingkat menjadi z = 5,385 |158°12'Nyatakanlah dalam bentuk singkat, bentuk polar (4 - j3) Jangan lupa untuk melukis diagram sketsanya terlebih dahulu. tan E = 0,75 = 0,4                 E = 36°52' θ = 360 - E = 323°8' z = 5 (cos 323°8' + j sin 323°8')   = 5|323°8' Tentu saja dengan bilangan kompleks yang diketahui dalam bentuk polar, Anda dapat mengkonversinya menjadi bentuk dasar a + jb cukup dengan menentukan nilai kosinus dan sinus serta mengalikan nilai r tersebut. Sebagai contoh, z = 5 (cos 35° + j sin 35°) = 5 (0,8192+ j0,8192)                                   z = 4,0960 + j2,8680 Sekarang kerjakanlah yang satu ini! Nyatakanlah dalam bentuk a + jb, 4 (cos 65° + j sin 65°)! Jawab: z = 4 (cos 65° + j sin 65°) = 4 (0,4226 + j 0,9063) = 1,6905 + j 3,6252 Jika argumennya lebih besar daripada 90°, kita harus hati-hati dalam menentukan nilai kosinus dan sinus untuk memberiikan tanda-tanda yang sesuai. Sebagai contoh, jika z = 2 (cos 210° + j sin 210°) vektor ini terletak pada kuadran ketiga. cos 210° = -cos 30° sin 210° = -sin 30° Maka z = 2 (-cos 30° - j sin 30°) = 2 (-0,8660 - j 0,5)                = -1,732 - j Bagaimana dengan yang satu ini? Nyatakanlah z = 5 (cos 140° + j sin 140°) dalam bentuk a + jb! Berapakah hasil yang Anda peroleh? Beginilah caranya secara rinci: cos 140° = -cos 40°  sin 40° = sin 40°  z = 5 (cos 140° + j sin 140°) z = 5 (-cos 40° + j sin 40°) z = 5 (-0,7660 + j 0,6428) z = -3,830 + j 3,214 Bagus. Sekarang sebagai revisi kerjakanlah yang berikut ini: (a) Nyatakanlah -5 + j4 dalam bentu polarnya! (b) Nyatakanlah 3|300° dalam bentuk a + jb! Setelah Anda menyelesaikan keduanya, periksalah hasil yang Anda peroleh pada frame berikut. Beginilah caranya: (a)  r² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41            r = 6,403         tan E = 0,8                 E = 38°40'        θ = 141°20'        -5 + j4 = 6,403 (cos 141°20' + j sin 141°20')                 = 6,403|141°20' (b) 3|300° = 3 (cos 300° + j sin 300°)        cos 300° = cos 60°        sin 300° = -sin 60°        3|300° = 3 (cos 60° - j sin 60°)                        = 3 (0,500 - j 0,866)                        = 1,500 - j 2,598 Kita telah melihat bahwa ada dua cara untuk menyatakan suatu bilangan kompleks: (a) dalam bentuk standar z = a + jb (b) dalam bentuk polar  z = r (cos θ  + j sin θ) dimana                     dan  Jika kita ingat diagram sederhananya, kita secara mudah dapat mengkonversi dari satu sistem ke sistem yang lain.