Persamaan Diferensial Linear, Berkoefisien-Konstan, Nonhomogen

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan berbentuk:

di manaadalah konstanta-konstanta yang diketahui, g(x) adalah pernyataan dalam x yang dikrtahui dan nilai dari f(x) dan turunannya diketahui pada x = 0. Persamaan jenis ini disebut sebagai persamaan diferensial, linear, koefisien-konstan, nonhomogen dan nilai-nilai dari f(x) dan turunannya pada x = 0 disebut sebagai syarat batas.

Metode untuk menyelesaikannya mengikuti prosedur yang telah dibahas dalam Frame 14. Sebagai contoh:

Tentukanlah penyelesaian dari:
di mana f(0) = f'(0) = 0

(a) Carilah transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan
     
       yang menghasilkan 
      
(b) Cari pernyataan F(s) = L{f(x)} dalam bentuk pecahan aljabar

       Substitusikan nilai f(0) dan f'(0), yang menghasilkan
      
        sehingga
       
(c) Pisahkan F(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya

Dengan menjumlahkan semua pecahan parsial di sisi kanan kemudian menyamakan pembilang sisi-kiri dengan pembilang sisi-kanan akan didapat:

Jika   sehingga B = 2
       

   sehingga D = -1

Samakan koefisien-koefisien dari s:

0 = 2A + 3B = 2A + 6 sehingga A = -3

Sehingga didapat:

(d) Gunakan tabel-tabel yang ada untuk mencari transformasi Laplace invers L-1{F(s)} dan juga tentukan penyelesaian f(x) dari persamaan diferensialnya

Jadi semuanya tetap cukup jelas walaupun agak merepotkan. Sekarang Anda coba persamaan diferensial di frame berikutnya

Rangkuman revisi

1. Jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka:
      
dan 
2. Persamaan-persamaan dalam bentuk:

di mana  adalah konstanta-konstanta, disebut sebagai persamaan diferensial linear, koefisien-konstan, nonhomogen.

3. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear, koefisien-konstan, nonhomogen dengan syarat  adalah konstanta yang sudah diketahui, g(x) adalah pernyataan dalam x yang sudah diketahui, dan nilai-nilai dari f(x) dan turunannya diketahui pada x = 0.

4. Prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde-kedua dan orde yang lebih tinggi ini sama dengan prosedur untuk menyelesaikan persamaan orde-pertama, yaitu:

• Cari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan diferensial
• Cari bentuk F(s) = L{f(x)} dalam pecahan aljabar
• Pisahkan F(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya
• Cari transformasi Laplace invers L-1{F(s)} untuk mencari penyelesaian f(x) dari persamaan diferensial tersebut.

Latihan revisi

Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan setiap persamaan di bawah ini:

(a) f'(x) + f(x) = 3 di mana f(0) = 0

(b) 3f'(x) + 2f(x) = x di mana f(0) = -2

(c) f''(x) + 5f'(x) + 6f(x) = 2e-x di mana f(0) = 0 dan f'(0) = 0

(d) f''(x) - 4f(x) sin 2x di mana f(0) = 1 dan f'(0) = -2

Jawabannya ada di frame berikutnya

(a) f'(x) + f(x) = 3 di mana f(0) = 0

      Dengan mencari trasformasi Laplace dari kedua sisi persamaan, kita peroleh:
     sehingga
       Berarti  sehingga  
       yang menghasilkan
       
(b) 3f'(x) + 2f(x) = x di mana f(0) = -2

       Dengan mencari trasformasi Laplace dari kedua sisi persamaan, kita peroleh:
       sehingga 
        Berarti sehingga 
        Uraian pecahan parsialnya adalah
        
         yang menghasilkan solusi
        

(c) f''(x) + 5f'(x) + 6f(x) = 2e-x di mana f(0) = 0 dan f'(0) = 0

      Dengan mencari trasformasi Laplace dari kedua sisi persamaan, kita peroleh:
     
      sehingga
      
     Dengan kata lain
      
     sehingga
      
     yang menghasilkan solusi sebagai
      

(d) f''(x) - 4f(x) sin 2x di mana f(0) = 1 dan f'(0) = -2

       Dengan mencari trasformasi Laplace dari kedua sisi persamaan, kita peroleh:
      
       sehingga 
       Yang artinya 
       sehingga 
                        

       yang menghasilkan solusi sebagai
      

BACK