BILANGAN KOMPLEKS 7

Bentuk Eksponensial Suatu Bilangan Kompleks

Masih terdapat cara lain untuk menyatakan bilangan kompleks yang harus kita tangani, karena cara itu juga memiliki penggunaannya. Kita akan sampai pada cara itu sekarang:

           Banyak fungsi dapat dinyatakan sebagai deret, sebagai contoh

Anda pasti masih agak sulit untuk mengingat deret-deret ini. Anda sebaiknya membuat catatannya karena deret-deret tersebut telah muncul di sini.
           Jika kita sekarang mengambil deret ex dan menulis jθ sebagai ganti x, kita peroleh:

      
        
     
     
Oleh sebab itu, r(cos θ + j sin θ) sekarang dapat ditulis sebagai r.ejθ. Ini disebut bentuk eksponensial bilangan kompleks. Bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar dengan sangat mudah karena nilai r adalah sama dan sudut θ adalah sama untuk keduanya. Akn tetapi, penting untuk kita ingat bahwa dalam bentuk eksponensialnya, sudut haruslah dalam radian.
           Dengan demikian ada tiga cara untuk menyatakan suatu bilangan kompleks:
(a) z = a + jb
(b) z = r(cos θ + j sin θ)               Bentuk polar
(c) z = r.ejθ                                       Bentuk eksponensial
Ingatlah bahwa bentuk eksponensialnya diperoleh dari bentuk polar:
(a) nilai r sama dalam setiap kasus
(b) sudutnya juga sama dalam setiap kasus, tetapi pada bentuk eksponensial sudutnya haruslah
       dalam radian
Jadi, dengan mengetahui hal itu, ubahlah bentuk polar 5(cos 60° + j sin 60°) menjadi bentuk eksponensialnya!
           Karena bentuk polarnya adalah 5(cos 60° + j sin 60°), kita peroleh: 


Dan sekarang tentang sudut negatif:
           Kita ketahui ejθ = cos θ + j sin θ
Jika kita ganti θ dengan -θ dalam hasil ini, maka kita peroleh:
           e-jθ = cos (-θ) + j sin (-θ)
                   = cos θ - j sin θ
Jadi kita peroleh:



Terdapat satu operasi yang belum dapat kita lakukan untuk bilangan kompleks sebelum ini. Yakni untuk mencari logaritma bilangan kompleks. Bentuk eksponen sekarang telah membuat kita dapat melakukan pencarian logaritma ini, karena bentuk eksponensial hanya terdiri atas hasil kali dan pangkat.
          Karena jika kita peroleh:
           z = r.ejθ
maka kita dapat mengatakan:
          ln z = ln r + ln (ejθ) = ln r + jθ
yakni jika z = 6,42ej1,57 maka
          ln z = ln 6,42 + j1,57 
                  = 1,8594 + j1,57
dan hasilnya pun dalam bentuk kompleks.
Dan jika z = 3,8e-j0,236, maka 
          ln z = ln 3,8 + j0,236 = 1,3350 + j 0,236

Akhirnya, berikut adalah contoh yang agak berbeda dengan sebelumnya. Sekali Anda telah melihat penyelesaiannya, Anda akan dapat menangani jenis ini. Ini dia.
        Nyatakanlah   dalam bentuk  
Baiklah sekarang kita dapat tulis:
         sebagai