INTEGRAL DARI f'(x)/f(x) DAN f(x).f'(x)

Tinjaulah integral  Integral ini bukan salah satu dari integral standar yang telah kita bahas,jadi bagaimanakah cara kita menyelesaikannya? Integral ini adalah salah satu contoh integral yang sangat mudah untuk diselesaikan tetapi sangat bergantung pada ketajaman pikiran Anda.

     Anda akan melihat bahwa jika kita mediferensiasikan penyebutnya, kita akan memperoleh pembilangnya. Jadi, misalkan z sebagai penyebutnya, yatu z = x2 + 3x - 5.

Jadi integral tersebut dapat dinyatakan dalam z:

dan kita tahu bahwa 

                               

Jika kita kembalikan z sebagai fungsi dari x, kita akan memperoleh:

              

Semua integral yang pembilangnya merupakan turunan dari penyebutnya akan berbentuk

Sebagai contoh  akan berbantuk  karena  yang artinya adalah turunan dari penyebutnya muncul sebagai pembilangnya. Oleh karena itu kita dapat mengatakan secara langsung bahwa:

     

Dengan cara yang serupa

       

dan 

dan 

                         

Oleh karenanya kita akan selalu mendapatkan bentuk log ini dalam hasilnya, setiap kali pembilangnya merupakan turunan dari penyebutnya, atau kelipatannya. Berikut ini adalah contoh lain:

dan karena kita tahu bahwa cos x adalah turunan dari sin x, maka:

Dengan cara yang sama:

  

                  

                                                          

Tiap kali kita dihadapkan dengan integral yang berbentuk pecahan, reaksi kita yang pertama adalah melihat apakah pembilangnya adalah turunan dari penyebutnya atau tidak. Jika ya, hasilnya tak lain adalah logaritma dari penyebutnya:

Sebagai contoh 

                         

Berikut ini adalah soal-soal untuk Anda kerjakan:

Di bawah ini adalah hasil-hasilnya: periksalah dengan hasil pekerjaan Anda!

Dengan cara yang hampir serupa, kita kadang-kadang menemukan integral seperti:

Tentunya integral ini bukan suatu hasil bagi tetapi suatu hasilkali. Meskipun demikian kita perhatikan bahwa salah satu fungsi (sec2 x) dari hasilkali tersebut adalah turunan dari fungsi yang lainnya (tan x).

     Jika kita misalkan z = tan x, maka dz ≡ sec2 x dx dan integralnya dapat ditulis sebagai

yang menghasilkan 

Dengan demikian kita memperoleh suatu hasilkali yang salah satu faktornya merupakan turunan dari faktor yang satu lagi. Kita dapat menulisnya sebagai:

Integral ini mirip dengan

yang menghasilkan 

Lanjutkan ke frame berikutnya

Di bawah ini adalah satu contoh lagi yang mirip dengan contoh di atas:

yaitu seperti 

Satu-satunya hal yang harus Anda perhatikan adalah bahwa salah satu faktor dari hasil kalinya adalah turunan dari faktor yang satu lagi, atau merupakan kelipatannya.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

                                    

Berikut ini adalah latihan revisi singkat untuk Anda. Selesaikanlah keempat-empatnya dan kemudian periksalah jawaban Anda di frame berikutnya

Jawaban ada di Frame 20

 Perhatikan bahwa pembilangnya adalah turunan dari

                                                         penyebutnya, yaitu 

       

Anda harus selalu siap untuk integral-integral tipe ini. Integral-integral semacam ini seringkali menyebabkan kita kehilangan akal, tetpi sebenarnya sangat mudah jika Anda sedikit berkosentrasi.

SEBELUMNYA

SELANJUTNYA