TRANSFORMASI LAPLACE TURUNAN

Sebelum Anda menggunakan  Transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial, Anda perlu mengetahui transformasi Laplace dari suatu turunan. Jika diketahui bahwa suatu pernyataan f(x) memiliki transformasi Laplace L{f(x)} = F(s), maka transformasi Laplace dari turunannya f'(x) adalah:

Ini dapat dselesaikan dengan integrasi per bagian:

dimana u(x) = e^-sx maka du(x) = -se^-sx dx da dimana dv(x) = f'(x) dx maka v(x) = f(x). Sehingga, substitusi dalam rumus integrasi per bagiannya akan menghasilkan:

               

jikakalau 

Dengan kata lain:

Jadi transformasi Laplace untuk turunan dari f(x) diberikan dalam bentuk transformasi Laplace dari f(x) itu sendiri dan nilai dari f(x) untuk x = 0. Sebelum Anda menggunakan fakta ini, perhatikanlah dua sifat transformasi Laplace dalam frame berikut.

Dua Sifat dari Transformasi Laplace

Baik transformasi Laplace maupun inversnya kedua-duanya adalah transformasi linear, yang berarti bahwa:

(1) Transformasi dari suatu jumlah (atau selisih) dari pernyataan adalah jumlah (atau selisih) dari masing-masing transformasi itu sendiri. Dengan kata lain:

       L{f(x) ± g(x)} = L{f(x)} ± L{g(x)}

       dan L-1{F(s) ± G(s)} = L-1{F(s)} ± L-1{g(s)} 
(2) Transformasi dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi dari pernyataan tersebut. Artinya

       L{kf(x)} = kL{f(x)} dan L^-1{kF(s)} = kL^-1{F(s)} dimana k adalah konstanta.

Ini sangat mudah dibuktikan dengan menggunakan dafinisi dasar transformasi Laplace dalam Frame 1.

Dengan menggunakan informasi ini, mari kita mencoba mengerjakan sebuah persamaan diferensial yang sederhana. Dengan menggunakan

cari transformasi Laplace dari kedua sisi untuk persamaan

f'(x) + f(x) = 1 di mana f(0) = 0

dan carilah pernyataan untuk transformasi Laplace-nya F(s).

Kerjakan terus dengan menggunakan apa yang Anda ketahui. Anda akan melihat jawabannya di Frame 12.

Karena dengan mencari transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan, Anda akan memperoleh fakta bahwa:

L{f'(x) + f(x)} = L{1} Transformasi Laplace di sisi kiri sama dengan transformasi Laplace di sisi kanan

 Dengan kata lain,

L{f'(x)} + L{f(x)} = L{1}           Transformasi dari suatu hasil penjumlahan adalah hasil penjumlahan

                                                        transformasi-transformasinya

Dari apa yang Anda ketahui tentang transformasi Laplace dari f(x) dan turunannya f'(x), ini akan menghasilkan:

dengan kata lain,

dengan syarat f(0) = 0, maka

sehingga 
Selesai. Sekarang pisahkan sisi kanan menjadi pecahan-pecahan parsial.

Karena

Misalkan  maka, 1 = A(s + 1) + Bs sehingga didapat A = 1 dan B = -1 sehingga 

Semuanya cukup mudah. Sekarang hitunglah transformasi Laplace inversnya dan carilah penyelesaian dari persamaan diferensial.

Jawaban di Frame 14

Karena

Transformasi Laplace invers dari suatu pengurangan adalah pengurangan dari transformasi-transformasi Laplace inversnya.

     Dengan menggunakan Tabel transformasi Laplace di Frame 6.

Sekarang Anda telah mempunyai sebuah metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial yang berbentuk:

af'(x) + bf(x) = g(x) untuk f(0) = k

dimana a, b, dan k adalah konstanta yang diketahui dan g(x) adalah suatu pernyataan dalam x:

1. Cari transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial
2. Buatlah pernyataan F(s) = L{f(x)} dalam bentuk pecahan aljabar
3. Pisahkan F(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya
4. Cari transformasi Laplace invers L^-1{F(s)} untuk menentukan penyelesaian f(x) dari persamaan diferensial.

Sekarang Anda akan mencobanya, tapi sebelumnya Anda harus melihat Tabel transformasi Laplace di frame berikutnya. Anda akan memerlukan ini untuk menyelesaikan persamaan di Latihan revisi yang mengikutinya

Tabel Transformasi Laplace

Kita akan meneruskan ketiga transformasi ini nanti. Untuk sekarang, gunakan tabel tersebut untuk menjawab pertanyaan yang diberikan sesudah Rangkuman revisi di frame berikutnya

Rangkuman revisi

(1) Jika F(s) adalah trnasformasi Laplace dari f(x) maka transformasi Laplace dari f'(x) adalah:

       L{f'(x)} = sF(s) - f(0)
(2) (a) Transformasi Laplace dari suatu penjumlahan (pengurangan) adalah penjumlahan
             (pengurangan)  dari masing-masing transformasi Laplace itu sendiri, yaitu:

              L{f(x) ± g(x)} = L{f(x)} ± L{g(x)}

              dan L^-1{F(s) ± G(s)} = L^-1{F(s)} ± L^-1{g(s)}
       (b) Transformasi dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta
              dikalikan dengan transformasi dari pernyataan tersebut:
              L{kf(x)} = kL{f(x)} dan L^-1{kF(s)} = kL^-1{F(s)}
              di mana k adalah suatu konstanta.
(3) Untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam bentuk:
       af'(x) + bf(x) = g(x) untuk f(0) = k

      dimana a, b, dan k adalah konstanta yang diketahui dan g(x) adalah suatu pernyataan dalam x:

1. Cari transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial
2. Buatlah pernyataan F(s) = L{f(x)} dalam bentuk pecahan aljabar
3. Pisahkan F(s) ke dalam pecahan-pecahan parsialnya
4. Cari transformasi Laplace invers L^-1{F(s)} untuk menentukan penyelesaian f(x) dari persamaan diferensial.

Latihan revisi

Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:

1. f'(x) - f(x) = 2 di mana f(0) = 0
2. f'(x) + f(x) = e-x di mana f(0) = 0
3. f'(x) + f(x) = 3 di mana f(0) = -2
4. f'(x) - f(x) = e2x di mana f(0) = 1
5. 3f'(x) - 2f(x) = 4e-x + 2 di mana f(0) = 0

Penyelesaian ada di frame berikutnya

1. f'(x) - f(x) = 2 di mana f(0) = 0

Dengan mencari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan didapat:
     sehingga    
 

Transformasi Laplace inversnya menghasilkan penyelesaian:

2. f'(x) + f(x) = e-x di mana f(0) = 0

     Dengan mencari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan didapat:

          sehingga     

       Transformasi Laplace inversnya menghasilkan penyelesaian:

     

3. f'(x) + f(x) = 3 di mana f(0) = -2

     Dengan mencari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan didapat:

          sehingga

     

     Transformasi Laplace inversnya menghasilkan penyelesaian:

    

4. f'(x) - f(x) = e2x di mana f(0) = 1

     Dengan mencari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan didapat:

    

atau          sehingga 

     

      Transformasi Laplace inversnya menghasilkan penyelesaian:

     

5. 3f'(x) - 2f(x) = 4e-x + 2 di mana f(0) = 0

     Dengan mencari transformasi Laplace dari kedua sisi persamaan didapat:

    

sehingga

    

            

Transformasi Laplace inversnya menghasilkan penyelesaian:

    

BACK

NEXT